فهم الهرم: نظرة شاملة

مفهوم الهرم

يمكن تعريف الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) بأنه مضلع منتظم يحتوي على قاعدة ووجوه مثلثة الشكل تلتقي في نقطة تُعرف برأس الهرم. ويضم تعريف الهرم ما يلي:

• الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid)؛ يُعدّ الهرم قائمًا إذا كان الخط الذي يصل بين الرأس والقاعدة عموديًا على القاعدة، أما الهرم القائم المنتظم فهو هرم قائم قاعدته مضلع منتظم، في المقابل إذا كانت القاعدة غير منتظمة فإن الهرم يكون غير منتظم.
• الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid)؛ هو الهرم الذي لا يتماشى فيه مركز القاعدة مع رأسه تمامًا، وتكون أوجهه المثلثة غير متطابقة.

من الجدير بالذكر أن جميع أوجه الهرم الجانبية تكون متطابقة ومتساوية الساقين إذا كانت القاعدة مضلعًا منتظمًا، ولا يمكن أن تكون قاعدة الهرم دائرية أو بيضاوية الشكل، بل يجب أن تكون دائمًا مضلعًا كالمربع أو المثلث أو الخماسي أو السداسي.

أنواع الهرم

يمكن لأي مضلع أن يمثل قاعدة للهرم، ويُسمّى الهرم عادةً حسب شكل قاعدته. فيما يلي ذكر لأنواع الهرم الشائعة وخصائص كل نوع:

• الهرم الثلاثي: (بالإنجليزية: Triangular Pyramid)؛ يحتوي على أربعة أوجه شاملة القاعدة، وكلها مثلثة الشكل، وله 4 زوايا و6 حواف.
• الهرم الرباعي: (بالإنجليزية: Square Pyramid)؛ يحتوي على خمسة أوجه، أربعة منها مثلثة الشكل، والوجه الخامس هو القاعدة مربعة الشكل، وله 5 زوايا و8 حواف.
• الهرم الخماسي: (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid)؛ يحتوي على ستة أوجه، خمسة منها مثلثة الشكل، والوجه السادس هو القاعدة خماسية الشكل، وله 6 زوايا و10 حواف.

قانون حساب مساحة الهرم

يمكن حساب المساحة الكلية للهرم القائم عن طريق حساب مساحة وجه واحد من الأوجه المثلثة ثم ضربها بعددها (لأنها متساوية)، ثم جمع مساحة القاعدة إليها للحصول على المساحة الكلية. ويمكن حساب مساحة الأوجه الجانبية باستخدام قانون مساحة المثلث، أما مساحة القاعدة فتُحسب بقانون مناسب لشكلها. وبذلك يمكن حساب المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم باستخدام القانون التالي:

المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم = مساحة القاعدة + ½ × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي

ملاحظة: في حالة كان الهرم مائلًا أو غير منتظم، يصبح حساب المساحة أكثر تعقيدًا، ويتطلب حساب مساحة كل وجه على حدة ثم جمعها، لأنه لا تكون أوجهه متطابقة كما في الهرم القائم المنتظم.

حساب المساحة الكلية للهرم المنتظم حسب شكل القاعدة

استخدم المعادلات التالية لحساب المساحة الكلية للهرم المنتظم بناءً على شكل قاعدته:

• مساحة الهرم الثلاثي: إذا كان الهرم ثلاثيًا (أي قاعدته مثلثة الشكل)، يمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة التالية:
  • مساحة الهرم الثلاثي = ½×(أ×ب) + ³⁄₂×(ب×ع)، حيث:
    • أ: ارتفاع القاعدة المثلثة
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم
    • أما مساحة القاعدة المثلثة فهي ½×أ×ب.
• مساحة الهرم الرباعي: إذا كان الهرم رباعيًا (أي قاعدته مربعة الشكل)، يمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة التالية:
  • مساحة الهرم الرباعي = ب² + 2×(ب×ع)، حيث:
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم
    • أما مساحة القاعدة المربعة فهي ب².
• مساحة الهرم الخماسي: إذا كان الهرم خماسيًا (أي قاعدته خماسية الشكل)، يمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة التالية:
  • مساحة الهرم الخماسي = ⁵⁄₂×(أ×ب) + ⁵⁄₂×(ب×ع)، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة الخماسية إلى أحد أضلاعها
    • ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم
    • أما مساحة القاعدة الخماسية فهي ⁵⁄₂×أ×ب.
• مساحة الهرم السداسي: إذا كان الهرم سداسي الشكل (أي قاعدته سداسية)، يمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة التالية:
  • مساحة الهرم السداسي = 3×(أ×ب) + 3×(ب×ع)، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاعها
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة السداسية
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم
    • أما مساحة القاعدة السداسية فهي 3×أ×ب.

قانون حساب حجم الهرم

يمكن حساب حجم الهرم باستخدام القانون التالي:

• حجم الهرم = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع.

كل نوع من أنواع الهرم له قانون خاص لحساب الحجم، وذلك كما يلي:

• حجم الهرم الثلاثي: إذا كان الهرم ثلاثيًا، يمكن حساب حجمه باستخدام القانون التالي:
  • حجم الهرم الثلاثي = ¹⁄₆×أ×ب×ل، حيث:
    • أ: ارتفاع القاعدة المثلثة
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم، أي الخط العمودي من رأس الهرم إلى مركز قاعدته.
• حجم الهرم الرباعي: إذا كان الهرم رباعيًا، يمكن حساب حجمه باستخدام القانون التالي:
  • حجم الهرم الرباعي = ⅓×ب²×ل، حيث:
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم.
• حجم الهرم الخماسي: إذا كان الهرم خماسيًا، يمكن حساب حجمه باستخدام القانون التالي:
  • حجم الهرم الخماسي = ⁵⁄₆×أ×ب×ل، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة الخماسية إلى أحد أضلاعها
    • ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم.
• حجم الهرم السداسي: إذا كان الهرم سداسي الشكل، يمكن حساب حجمه باستخدام القانون التالي:
  • حجم الهرم السداسي = أ×ب×ل، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاعها
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة السداسية
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم.

أمثلة متنوعة حول الهرم

فيما يلي أمثلة متعددة حول الهرم:

• المثال الأول: ما هو حجم الهرم الثلاثي القائم الذي قاعدته مثلث متساوي الساقين بأطوال أضلاع 15 سم، 15 سم، 18 سم، وارتفاع الهرم 20 سم؟
  • الحل: حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع
  • بما أن القاعدة مثلثة الشكل، يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قانون مساحة المثلث: مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع. وبالتالي:
    • بما أن ارتفاع المثلث القاعدة غير معروف، يمكن حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي: طول أحد الضلعين المتساويين في المثلث القاعدة² = طول نصف القاعدة² + ارتفاع المثلث القاعدة²، إذًا: ارتفاع القاعدة = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 سم.
    • وبالتالي فإن مساحة القاعدة المثلثة = ½ × 18 × 12 = 108 سم².
  • بعد إيجاد مساحة القاعدة، يمكن حساب حجم الهرم كالتالي:
    • حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × 108 × 20 = 720 سم³.

• المثال الثاني: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي ارتفاعه 9 م، وطول أحد أضلاع قاعدته 4 م؟
  • الحل: حجم الهرم = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع
  • بما أن القاعدة مربعة الشكل، يمكن حساب مساحتها باستخدام قانون مساحة المربع:
    • مساحة المربع = طول الضلع² = 4² = 16 م².
  • حساب حجم الهرم الرباعي كالتالي:
    • حجم الهرم الرباعي = ⅓ × 16 × 9 = 48 م³.

• المثال الثالث: يريد مهندس معماري بناء هرم رباعي الشكل وتعبئته بكمية من الرمل تساوي 12,000 قدم³، وإذا كانت طول قاعدة الهرم 30 قدم، فما هو الارتفاع المطلوب للهرم؟
  • الحل: كمية الرمل = حجم الهرم الرباعي = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع
  • بما أن القاعدة مربعة الشكل، فإن مساحتها = طول الضلع²، وبالتالي:
    • مساحة القاعدة = 30² = 900 قدم.
  • تعويض في قانون حجم الهرم لإيجاد الارتفاع:
    • 12000 = ⅓ × 900 × ارتفاع الهرم، وبالتالي ارتفاع الهرم = 40 قدم.

• المثال الرابع: هرم رباعي طول أحد أضلاع قاعدته المربعة 10 م، وطول أحد أضلاع الأوجه المثلثة 13 م، فما هو حجمه؟
  • الحل: حجم الهرم الرباعي = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع
  • بما أن ارتفاع الهرم غير معروف، يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، لأن ضلع الوجه الجانبي يشكل مع نصف القاعدة مثلثًا قائم الزاوية، حيث الوتر هو ضلع الوجه الجانبي، والارتفاع الجانبي (ع)، ونصف طول القاعدة هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
    • طول ضلع الوجه الجانبي² = (طول نصف ضلع القاعدة)² + (الارتفاع الجانبي)²
    • 13² = 5² + ع²، ومنه: ع² = 144، ع = 12 م.
  • بعد إيجاد الارتفاع الجانبي (ع)، يمكن إيجاد الارتفاع العمودي للهرم باستخدام نظرية فيثاغورس أيضًا، لأن الارتفاع الجانبي يشكل الوتر في مثلث قائم، فيه نصف طول القاعدة والارتفاع العمودي للهرم هما ضلعا القائمة:
    • (الارتفاع الجانبي)² = (نصف طول القاعدة)² + (الارتفاع العمودي)²
    • 5² + (الارتفاع العمودي)² = 12²، ومنه: الارتفاع العمودي = √119 م.
  • إيجاد مساحة قاعدة الهرم:
    • مساحة القاعدة = مساحة المربع = طول الضلع² = 10² = 100 م².
  • إيجاد حجم الهرم الرباعي:
    • حجم الهرم = ⅓ × 100 × √119 ≈ 364 م³.

• المثال الخامس: ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي طول أحد أضلاع قاعدته 10 م، وطول أحد أضلاع أوجهه المثلثة 13 م؟
  • الحل: مساحة الهرم الرباعي = ب² + 2×(ب×ع)، حيث ع: الارتفاع الجانبي للهرم، وب: طول أحد أضلاع القاعدة.
  • بما أن الارتفاع الجانبي غير معروف، يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، لأن ضلع الوجه المثلثي الجانبي يشكل مع نصف القاعدة مثلثًا قائمًا، فيه الوتر هو ضلع الوجه المثلثي، والارتفاع الجانبي ونصف طول القاعدة هما ضلعا القائمة:
    • طول ضلع الوجه الجانبي² = (طول نصف ضلع القاعدة)² + (الارتفاع الجانبي)²
    • 13² = 5² + ع²، ومنه: ع² = 144، ع = 12 م.
  • حساب مساحة الهرم الرباعي:
    • مساحة الهرم الرباعي = 10² + 2×(10×12) = 100 + 240 = 340 م².

• المثال السادس: ما هي المساحة الكلية للهرم الثلاثي إذا كانت قاعدته مثلثًا متساوي الأضلاع طول كل ضلع 6 سم، وطول قاعدة كل وجه من الأوجه المثلثة 6 سم، وارتفاعه 10 سم؟
  • الحل: المساحة الكلية = مساحة القاعدة + ½ × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
  • إيجاد مساحة القاعدة ومحيطها:
    • بما أن القاعدة مثلثًا متساوي الأضلاع، فإن مساحتها = (√3/4) × طول الضلع² = (√3/4) × 36 = 9√3 سم².
    • محيط القاعدة = مجموع أطوال أضلاعها = 6 + 6 + 6 = 18 سم.
  • المساحة الكلية = 9√3 + ½ × 18 × 10 = 9√3 + 90 سم².

• المثال السابع: هرم ثلاثي مائل وغير منتظم، قاعدته أ ب جـ قائمة الزاوية في جـ، والنقطة د تقع مباشرة فوق النقطة جـ بحيث يشكل العمود جـ د زاوية قائمة مع الضلعين أجـ، ب جـ، جد مساحة الهرم الكلية علماً أن مساحة الوجه د ب أ = 20.9 سم².
  • الحل: مساحة الهرم الكلية = مجموع مساحات أوجهه الأربعة = مساحة المثلث (أ ب جـ) + مساحة المثلث (د جـ ب) + مساحة المثلث (د جـ أ) + مساحة المثلث (د ب أ).
  • تطبيق قانون مساحة المثلث على كل وجه: مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع.
    • مساحة المثلث (أب جـ) = ½ × 3 × 4 = 6 سم².
    • مساحة المثلث (د جـ ب) = ½ × 4 × 8 = 16 سم².
    • مساحة المثلث (د جـ أ) = ½ × 3 × 8 = 12 سم².
  • مساحة الهرم الكلية = 6 + 16 + 12 + 20.9 = 54.9 سم².

المراجع

1. ↑ "Pyramid", mathworld.wolfram.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
2. ↑ "Pyramids", www.mathsisfun.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Pyramid", www.mathopenref.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
4. ↑ "Pyramids", mathbitsnotebook.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
5. ↑ "Three-dimensional figures", www.math.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
6. ↑ "Pentagonal Pyramid", www.mathsisfun.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
7. ↑ "Surface area of a pyramid", www.mathopenref.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
8. ↑ "Pyramids", www.mathsisfun.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Pyramid Formula", byjus.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
10. ↑ "Volume of a Pyramid", brilliant.org, Retrieved 26-5-2020. Edited.
11. ↑ "Volume of a Pyramid", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
12. ↑ "Pyramid in Math: Definition & Practice Problems", study.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
13. ^ ^{أ ب ت} " Pyramids", www.varsitytutors.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
14. ↑ " SURFACE AREA OF PYRAMID", www.onlinemath4all.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
15. ↑ "Pyramids ", www.mathopolis.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.