فهم كثيرات الحدود

طرق تحليل كثيرات الحدود

يُستخدم التحليل عادةً لحل المعادلات الجبرية، وهو يعني كتابة كثير الحدود على شكل حاصل ضرب كثيري حدود أو أكثر تقل درجتهما عن درجة كثير الحدود الأصلي. ويُسمى كل كثير حدود ناتج من عملية التحليل عاملًا، ولا يمكن تحليل أي من هذه العوامل أبدًا، كما أن حاصل ضرب جميع العوامل يساوي دائمًا كثير الحدود الأصلي.^[١]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول كثيرات الحدود يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن كثيرات الحدود.

أخذ العامل المشترك

يتم التحليل عبر هذه الطريقة باستخراج الثوابت أو المتغيرات المشتركة بين جميع الحدود لتكوين حدٍّ يُعرف بالعامل المشترك الأكبر. وغالبًا ما يُلجأ إلى هذه الطريقة كأول خطوة في التحليل. ومن الأمثلة عليها ما يأتي:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 15س³+5س²-25س.^[٢]
  • يمكن ملاحظة أن العامل المشترك الأكبر بين جميع الحدود هو (5س)، لذلك تُقسم جميع الحدود على هذا المقدار ليصبح الناتج: 5س(3س²+س-5).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: (3ص-5)(س+7)-ع(س+7).^[٣]
  • يمكن ملاحظة أن العامل المشترك الأكبر هو (س+7)، لذلك تُقسم جميع الحدود على هذا المقدار، ليصبح الناتج: (س+7)(3ص-5-ع).

استخدام التجميع

تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يوجد عامل مشترك بين جميع الحدود، ولكن يوجد بين زوجين أو أكثر فقط. إذًا، يتم التحليل بتجميع الحدود التي تشترك بعامل مشترك، ثم أخذ العامل المشترك بينها كما تم شرحه سابقًا. وذلك كما يلي:^[٢]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 2س ص+3س-14ص-21.^[٣]
  • يمكن ملاحظة أن الحدين (2س ص) و(3س) يشتركان بـ (س)، وأن الحدين (-14ص) و(-21) يشتركان بـ (-7). وبالتالي يمكن إعادة كتابة كثير الحدود السابق على النحو التالي: س(2ص+3) - 7(2ص+3) = (س-7)(2ص+3).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س³+3س²+4س+12.^[٤]
  • يمكن ملاحظة أن الحدين (3س²) و(س³) يشتركان بـ (س²)، وأن الحدين (4س) و(12) يشتركان بـ (4). وبالتالي يمكن إعادة كتابة كثير الحدود السابق على النحو التالي: س²(س+3) + 4(س+3) = (س+3)(س²+4).

التعويض

في بعض الحالات، يمكن استبدال جزء من كثير الحدود بتعبير أبسط لتسهيل التحليل، وذلك كما يلي:^[٥]

• حلّل كثير الحدود التالي: (س-ص)(س-ص-1)-20.
  • باستبدال (س-ص) بـ (ع)، يمكن التعبير عن كثير الحدود كالتالي: ع(ع-1)-20 = ع²-ع-20.
  • إن العبارة التربيعية ع²-ع-20 يمكن تحليلها باستخدام طرق تحليل المعادلات التربيعية: ع²-ع-20 = (ع+4)(ع-5) = (س-ص+4)(س-ص-5).

تحليل العبارة التربيعية

يمكن تحليل العبارة التربيعية، وهي حالة من حالات كثيرات الحدود، والتي تكون على الصورة: أس²+ب س+جـ (حيث لا يساوي أ الصفر) بعدة طرق، إحداها كما يلي:^[٣]

• إذا كان أ = 1: لتحليل العبارة التربيعية من الشكل س²+ب س+جـ، يجب إيجاد عددين (هـ، ع) بحيث يكون مجموعهما ب، وحاصل ضربهما جـ؛ أي: هـ+ع=ب، وهـ×ع=جـ. ثم كتابتها على الشكل:
  • أس²+ب س+جـ = (س+هـ)(س+ع).
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: س²+5س-6، يتم التحليل كالتالي:
    • العددين اللذين مجموعهما 5 وحاصل ضربهما -6 هما: (6، -1). وبالتالي يكون الناتج:
    • س²+5س-6 = (س+6)(س-1).
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س²-4س-12.^[٢]
    • العددين اللذين مجموعهما -4 وحاصل ضربهما -12 هما: (-6، 2). وبالتالي يكون الناتج:
    • س²-4س-12 = (س-6)(س+2).

• إذا كان أ ≠ 1: لتحليل العبارة التربيعية من الشكل أس²+ب س+جـ، يُكتب على الصورة (د س+ح)(هـ س+ط)، حيث: د×هـ = أ، ح×ط = جـ، د×ط+هـ×ح = ب. ويبدأ بتجريب أعداد لتحديد عددين حاصل ضربهما أ، وعددين آخرين حاصل ضربهما جـ، ثم التحقق من أن العلاقة د×ط+هـ×ح = ب تنطبق قبل كتابة القوسين. على سبيل المثال:
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 2س²-7س-15.
    • يمكن تحليلها كالتالي: (2س+3)(س-5)، حيث: 2×1 = 2 = أ، 3×-5 = -15 = جـ، 3×1+2×-5 = -7 = ب.
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: 2س²+9س-5.^[٢]
    • يمكن تحليلها كالتالي: (2س-1)(س+5)، حيث: 2×1 = 2 = أ، -1×5 = -5 = جـ، -1×1+2×5 = 9 = ب.
  • المثال الثالث: حلّل كثير الحدود التالي: س³+2س²-3س.^[٤]
    • باستخراج س كعامل مشترك، ينتج: س(س²+2س-3). وبتحليل العبارة التربيعية س²+2س-3، يصبح: س³+2س²-3س = س(س²+2س-3) = س(س+3)(س-1).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل المعادلة التربيعية.

تحليل بعض الصيغ الخاصة لكثيرات الحدود

فيما يأتي بعض الصيغ الخاصة بكثيرات الحدود وكيفية تحليلها:^[٢]

• الفرق بين مربعين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: س²-أ²، ويمكن تحليله على الشكل: س²-أ²=(س+أ)(س-أ).
• الفرق بين مكعبين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: أ³-ب³، ويمكن تحليله على الشكل: أ³-ب³=(أ-ب)(أ²+أب+ب²).
• مجموع مكعبين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: أ³+ب³، ويمكن تحليله على الشكل: أ³+ب³=(أ+ب)(أ²-أب+ب²).

ومن الأمثلة على تحليل كثيرات الحدود باستخدام هذه الطرق ما يلي:^[٢]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 27س³+8.
  • هذا كثير حدود على شكل مجموع مكعبين، وبالتالي يمكن تحليله على الشكل: (3س+2)(9س²-6س+4).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: 20س²-405.
  • بعد استخراج (5) كعامل مشترك، يصبح الشكل فرقًا بين مربعين: 5(4س²-81)، ثم يُحلّل على الشكل: 5(4س²-81) = 5(2س+9)(2س-9).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل الفرق بين مكعبين.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل مجموع مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل مجموع مكعبين.

تحليل العبارة التكعيبية أو الدرجات الكبيرة من كثيرات الحدود

يمكن تحليل كثيرات الحدود ذات الدرجة الثانية أو أعلى عن طريق تخمين أحد جذورها. أي العثور بالتجربة على قيمة للمتغير (س)، لنفترض أنها (أ)، بحيث تجعل قيمة كثير الحدود تساوي الصفر. وذلك عن طريق تعويض قيم مختلفة مكان المتغير (س) حتى العثور عليها. وبالتالي نفترض أن (س-أ) يعتبر أحد عوامل كثير الحدود، ثم بناءً على ذلك، نقوم بقسمة كثير الحدود الكامل على هذا العامل باستخدام القسمة التركيبية للحصول على العوامل المتبقية. وذلك كما يلي:^[٦]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: س³-4س²-7س+10.
  • العدد (1) يحقق كثير الحدود، أي أن: (1)³-4×(1)²-7×(1)+10 = 0، وبالتالي يُعتبر أحد جذوره، وبالتالي فإن (س-1) أحد عوامله.
  • بإجراء القسمة التركيبية لـ (س³-4س²-7س+10) على (س-1)، ينتج أن عوامل كثير الحدود هي: (س-1)(س²-3س-10).
  • بما أن س²-3س-10 عبارة تربيعية، يمكن تحليلها كما ذُكر سابقًا، لتكون: س²-3س-10 = (س-5)(س+2).
  • إذًا، عوامل س³-4س²-7س+10 هي: (س-1)(س-5)(س+2).
• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س³-5س²-2س+24.^[٧]
  • العدد (3) يحقق كثير الحدود، أي أن: (3)³-5×(3)²-2×(3)+24 = 0، وبالتالي يُعتبر أحد جذوره، وبالتالي فإن (س-3) أحد عوامله.
  • بإجراء القسمة التركيبية لـ (س³-5س²-2س+24) على (س-3)، ينتج أن عوامل كثير الحدود هي: (س-3)(س²-2س-8).
  • بما أن س²-2س-8 عبارة تربيعية، يمكن تحليلها كما ذُكر سابقًا، لتكون: س²-2س-8 = (س-4)(س+2).
  • إذًا، عوامل س³-5س²-2س+24 هي: (س-3)(س-4)(س+2).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التكعيبية والقسمة التركيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

المراجع

1. ↑ "Factorization of Polynomials", www.toppr.com, Retrieved 17-5-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} "Factoring Polynomials", www.cliffsnotes.com, Retrieved 21-9-2019. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Polynomials and Factoring", www.math.toronto.edu, Retrieved 21-9-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "6.5 Factoring Cubic Polynomials", www.cwcboe.org, Retrieved 17-5-2020. Edited.
5. ↑ Ashley Toh, Ashish Menon, Ashlin Farris, and 5 others contributed, "Factoring Polynomials", brilliant.org, Retrieved 17-5-2020. Edited.
6. ↑ "How to Factor a Cubic Polynomial", www.wikihow.com, Retrieved 17-5-2020. Edited.
7. ↑ "Cubic equations", www.mathcentre.ac.uk, Retrieved 17-5-2020. Edited.