طريقة حل المعادلات التفاضلية الجزئية: دليل واضح

آخر تحديث 12:12 12 يوليو 2023

المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى

المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية هي المعادلات التي يمكن كتابتها على النحو التالي:

وهذه المعادلة تقودنا إلى ما يَسمَى جملة المعادلات المساعدة للمعادلة رقم (1)، ويُعبّر عنها كالتالي:

السؤال:

ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية؟

<button articles-number="6">إظهار الحل</button>

الحل:

نبدأ بتحديد جملة المساعدات:

وعليه فإن الحل العام هو:

<button>إخفاء الحل</button>

السؤال:

ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية:

<button articles-number="6">إظهار الحل</button>

الحل:

بالبداية نذكر أن جملة المعادلات المساعدة هي:

ومنها نجد أن:

وعليه فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية هو:

<button>إخفاء الحل</button>

المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية

إذا كان u تابعاً لمتغيرين مستقلين x و y ، فإن الشكل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الثانية هو:

وكما يتضح فإن التوابع هنا تتمثل ب:

والمتغيرين المستقلين هما فقط كل من:

^[١]

إذا كانت قيمة F أقل من 0 فهي بيضاوية.
إذا كانت قيمة F تساوي من 0 فهي مكافئة.
إذا كانت قيمة F أكبر من 0 فهي زائدة.

بالإضافة لما سبق يمكن حل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة من المرتبة الثانية بعدة طرق وهي: ^[٢]

الطريقة المباشرة

حيث يمكن تعيين الحل العام لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة عن طريق تكامل أحد المتغيرات المشتقة بشكل مباشر.

طريقة فصل المتغيرات

حيث يمكن تعيين الحل العام لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة عن طريق فصل المتغيرات ومبدأ التركيب الخطي والذي ينص على أن التركيب الخطي لبعض حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة هو حلٌ لها، بلغة أخرى تعني أن يتم تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية ذات n من المتغيرات المستغلة إلي n من المعادلات التفاضلية الاعتيادية.

طريقة سلاسل فورير

حيث يمكن استخدام هذه الطريقة لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة والتي لديها شروط ولا نستطيع إيجاد حلها بالطرق السابقة.

طريقة المعادلة المساعدة

إذا كانت المعادلة التفاضلیة الجزئیة خطیة ومتجانسة ذات أمثال ثابتة وجمیع حدودها من نفس الدرجة مثل:

مفهوم المعادلات التفاضلية الجزئية وما يتعلق بها

^[١]http://www.w3.org/2000/svg%22 http://www.w3.org/1999/xlink%22 http://www.w3.org/2000/svg%22 http://www.w3.org/1999/xlink%22

السؤال:

ما مرتبة المعادلة التفاضلية التالية:

<button>إظهار الحل</button>

الحل:

معادلة من الدرجة الثانية.

<button>إخفاء الحل</button>

يتوجب قبل البدء بأي حلول، تحديد فيما إذا كانت المعادلة خطية أو غير خطية؛ فالمعادلة الخطية هي المعادلة التي لا تتضمن فيها المعادلة وأي حد منها أو الشروط الأولية أي حاصل ضرب من المتغيرات التابعة أو مشتقاتها. ^[١]

وحل المعادلة التفاضلية الجزئية هو أي تابع يحقق المعادلة التفاضلية الجزئية، والحل العام للمعادلة التفاضلية نقصد به الحل الذي يحوي توابع اختيارية عددها يساوي مرتبة المعادلة، بينما يُعرّف الحل الخاص على أنه كل حل ينتج عن عبارة الحل العام لها بعد تعيين قيم محددة للتوابع الاختيارية التي يحتويها الحل العام بشرط أن تتوافق وشروط المسألة. ^[٢]

فلنأخذ مثالًا بسيطًا، المعادلة التالية على سبيل المثال التابع التالي:

هو الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية:

^[٢]

وكمثال على الحل الخاص فإن:

هو مثال على الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الجزئية، وهذا يقودنا إلى ما يُسمى بالمعادلة الحدية وهي المسألة التي تتألف من معادلة تفاضلية جزئية بالإضافة لبعض الشروط التي تتعلق بحدود منطقة المتغيرات والتي ندرس المعادلة ضمنها. ^[٢]

تصنيف المعادلات التفاضلية

تُصنف المعادلات التفاضلية الجزئية بناء علي اعتبارات عدة والتصنيف ذو مفهوم مهم؛ لأن النظرية العامة وطريقة الحل عادة تُطبق على صنف معين من المعادلات، وتُصنف المعادلات التفاضلية الجزئية إلي 6 أصناف هي:^[٣]